01
Z 게이트는 뒤쪽 진폭의 부호만 바꿉니다.
Z 는 [[1,0],[0,−1]] 이라 |0> 쪽 진폭 a 는 그대로 두고 |1> 쪽 진폭 b 에만 마이너스를 붙입니다. 구현도 b 의 부호를 뒤집는 것 한 줄입니다. 크기는 전혀 건드리지 않기 때문에 |b|² 로 계산하는 확률에는 아무 변화가 없습니다. 상태를 바꾸면서도 측정 결과의 통계는 그대로 두는 연산이 있다는 것이, 확률만으로 상태를 다 안다고 말할 수 없는 첫 번째 근거입니다.
양자 미니랩 3/4 · 위상
확률이 같아도 상태는 다를 수 있습니다
2편의 큐비트는 측정하면 50:50이었죠. 그런데 50:50으로 보이는 상태가 하나만 있는 게 아닙니다. H만 건 큐비트(|+>)와 H 뒤에 Z를 더 건 큐비트(|−>)는 측정 확률이 완전히 같지만, 나침반으로 보면 서로 반대 방향을 가리킵니다.
이것만 기억하세요확률이 같다고
같은 상태는 아니다
같은 상태는 아니다
두 회로를 나란히 비교하세요
측정 확률은 똑같고, 나침반만 다릅니다
|0> ─ H측정 확률P(0) = 50% · P(1) = 50%
|0> ─ H ─ Z측정 확률P(0) = 50% · P(1) = 50%
두 회로의 측정 확률은 완전히 같습니다(50:50). 다른 것은 나침반 방향 — 수식으로 보면 |1> 앞의 부호(+/−)뿐입니다. 이 위상 차이는 지금은 측정에 드러나지 않지만, 다음 편에서 결과를 바꿉니다.
나침반은 |0>에서 X·H·Z로 만드는 x–z 평면 단면만 보여주며, 일반 블로흐 구 전체가 아닙니다. 이 데모는 잡음이 없는 이상적 1큐비트 시뮬레이션입니다.
이 데모에 대하여
측정 확률이 같은 두 상태를 나란히 놓습니다
이 화면에는 회로가 하나가 아니라 둘입니다. 비교가 목적이라 한쪽만 보면 아무것도 알 수 없기 때문입니다. 회로 A(|0> ─ H)와 회로 B(|0> ─ H ─ Z)를 동시에 계산해 보여줍니다. 두 회로의 측정 확률은 소수점 아래까지 완전히 같습니다. 그런데 나침반 그림에서는 정반대를 가리킵니다. 확률만으로는 구별되지 않는 차이가 상태 안에 남아 있다는 것을 한 화면에서 비교하려고 만든 구성입니다.
- 나침반 보기에서 두 화살표가 좌우로 갈라져 있는지 봅니다.
- 각 회로의 측정 확률 숫자를 비교합니다. 둘 다 50% 로 같습니다.
- 식 보기로 바꿔 ( |0> + |1> ) / √2 와 ( |0> − |1> ) / √2 의 부호 하나를 확인합니다.
- 나침반과 식을 오가며, 부호 차이가 화살표 방향으로 어떻게 나타나는지 맞춰 봅니다.
- 두 화면 중 어느 쪽에도 ‘어느 회로가 더 0 에 가깝다’는 표시가 없다는 점을 확인합니다.
- 확률은 같은데 나침반은 다르다는 상태를 한 문장으로 정리해 보고 다음 편으로 넘어갑니다.
- 회로 B 에서 Z 를 걸기 전과 후의 식이 부호 하나만 다르다는 것을 다시 확인합니다.
두 상태를 구분해 내는 계산
02
확률은 제곱이라 부호를 지웁니다.
측정 확률을 구할 때 진폭을 제곱하는데, 이 과정에서 마이너스가 사라집니다. +1/√2 와 −1/√2 는 제곱하면 둘 다 0.5 입니다. 확률만 보면 두 상태가 같아 보이는 이유가 여기 있고, 이 화면이 확률 숫자를 굳이 두 회로 모두에 띄워 두는 이유이기도 합니다. 숫자가 같다는 것을 직접 보고 나야, 나침반이 갈라지는 것이 계산 실수가 아니라는 사실이 받아들여집니다.
03
나침반은 확률이 아닌 다른 값을 그립니다.
화살표의 세로 좌표는 |a|² − |b|² 로 두 확률의 차이이고, 가로 좌표는 두 진폭을 곱해서 얻는 값입니다. 세로는 두 회로가 모두 0 이라 화살표가 같은 높이에 있지만, 가로는 부호가 반대로 나와 좌우로 갈라집니다. 확률을 구하면서 지워졌던 정보가 이 가로축에 남아 있는 셈이고, 그래서 나침반이 확률 막대보다 더 많은 것을 보여줍니다.
04
전체에 붙은 부호는 의미가 없습니다.
상태 전체에 마이너스를 곱한 것은 물리적으로 완전히 같은 상태이고, 어떤 측정으로도 구별할 수 없습니다. 의미가 있는 것은 두 항 사이의 부호 차이뿐입니다. 이 데모가 비교하는 것도 A 와 B 의 절대적인 부호가 아니라 각 상태 안에서 |0> 항과 |1> 항의 관계이며, 식 보기에서 괄호 안의 + 와 − 하나만 다른 것도 그 때문입니다.
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두 회로를 같은 엔진으로 돌립니다.
A 와 B 는 게이트 목록만 다르고 나머지 계산 경로는 완전히 같은 함수를 지나갑니다. 한쪽만 다른 방식으로 계산하다가 엉뚱한 차이가 생기는 일을 막으려는 구성입니다. 덕분에 화면에 보이는 모든 차이는 Z 게이트 하나에서만 나온 것이라고 말할 수 있고, 비교 대상을 하나로 줄인 것이 이 데모에서 가장 중요한 설계 결정입니다.
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위상은 아직 결과로 드러나지 않습니다.
이 편에서 확인한 차이는 계산 안에만 있고 측정 결과에는 나타나지 않습니다. 두 회로를 각각 천 번씩 재도 통계가 구분되지 않으므로, 실험만으로는 어느 쪽인지 알 수 없습니다. 그래서 위상이 실재하는 것인지 표기법일 뿐인지 의심이 들 수 있는데, 그 의심을 정리하려면 위상이 결과를 바꾸는 상황을 봐야 합니다. 다음 편이 그 상황을 만듭니다.
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기저를 바꾸면 구분됩니다.
두 상태가 영원히 구분되지 않는 것은 아닙니다. |0>·|1> 로 재기 때문에 같아 보일 뿐이고, 재는 방향을 바꾸면 한쪽은 100%, 다른 쪽은 0% 로 완전히 갈립니다. 나침반에서 두 화살표가 가로축의 양 끝을 가리키고 있다는 것이 바로 그 뜻입니다. 무엇을 측정하느냐가 무엇을 알 수 있느냐를 정한다는 점이, 확률 숫자만 보고 상태를 판단하면 안 되는 이유를 가장 잘 보여주는 부분입니다.
나침반은 블로흐 구의 한 단면입니다.
화면의 나침반은 블로흐 구 전체가 아니라 x–z 평면 한 단면만 그린 것입니다. |0>에서 시작해 X · H · Z 만 쓰면 상태가 이 평면을 벗어나지 않기 때문에 이 편에서는 충분하지만, 임의의 위상이나 y 축 방향이 필요한 상태는 이 그림으로 나타낼 수 없습니다. 실제 양자 계산에서 쓰는 회전 게이트를 넣으면 화살표가 이 평면 밖으로 나가므로, 이 나침반을 일반적인 상태 표현으로 그대로 가져다 쓰면 잘못된 그림이 됩니다. 또한 잡음이 없는 이상적 시뮬레이션이라 실제 장치에서 위상 정보가 시간이 지나며 흐려지는 현상은 반영하지 않습니다. 위상 차이가 실제 측정 결과로 드러나는 경우는 이 편이 아니라 간섭을 다루는 다음 편에서 볼 수 있습니다. 그리고 이 화면이 두 회로의 상태를 나란히 펼쳐 보여줄 수 있는 것은 시뮬레이션이기 때문입니다. 실제 큐비트에서는 상태를 직접 들여다볼 방법이 없고, 여러 번 측정해 얻은 통계로 상태를 되짚어 추정해야 합니다. 나침반 화살표를 한눈에 비교하는 이 경험 자체가 실험실에서는 성립하지 않는다는 점을 함께 기억해 두는 편이 좋습니다.
참고 자료IBM Quantum Learning — 단일 큐비트 게이트 ↗Bloch sphere — 상태 표현의 기하학 ↗
실험을 마쳤다면